很多人没有听过转化与化归思想，但它比你想象的更加重要

本人近期推出高考数学思想方法系列，受到很多教师、家长、学生的欢迎，私信与本人希望继续讲解数学思想方法。因此，今天我们就一起去来讲讲转化与化归的思想方法。

什么是转化与化归思想？

所谓转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法。

更具体的来说就是将待解决或尚未解决的问题通过转化或再转化，归结为一个已经解决的问题，或者归结为一个已为人们所熟知的具有既定方法或程序的问题，最终得到问题解决的思想方法。

高考数学，转化与化归思想典型例题分析1：

数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常数．

(1) 当a2＝－1时，求λ及a3的值；

(2) 数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；

(3) 求λ的取值范围，使得存在正整数m，当n>m时总有an<0.

解：(1) 由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1.

所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，

故λ＝3.(2分)

从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.

(2) 数列{an}不可能为等差数列，证明如下：

由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an得

a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．

若存在λ，使{an}为等差数列，

则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，

解得λ＝3.

于是a2－a1＝1－λ＝－2，

a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.

这与{an}为等差数列矛盾．

所以，对任意λ，{an}都不可能是等差数列．( 8分)

（3）记bn＝n2＋n－λ(n＝1,2，…)，

根据题意可知，b1<0且bn≠0，即λ>2且λ≠n2＋n(n∈N*)，

这时总存在n0∈N*，满足：

当n≥n0时，bn>0；

当n≤n0－1时，bn<0.

所以由an＋1＝bnan及a1＝1>0可知，若n0为偶数，

则an0<0，从而当n>n0时，an<0；

若n0为奇数，则an0>0，从而当n>n0时an>0.

因此“存在m∈N*，

当n>m时总有an<0”的充分必要条件是：n0为偶数．

结合转化与化归思想的定义和典型例题，我们可以发现转化与化归思想主要包含以下四个方面：

1、化繁为简

在一些问题中，已知条件或求解结论比较繁，这时就可以通过化简这些较繁的已知或者结论为简单的情况，再解决问题.有时把问题中的某个部分看作一个整体，进行换元，这也是化繁为简的转化思想；

2、化难为易

化难为易是解决数学问题的基本思想，当我们遇到的问题是崭新的，解决起来困难时，就要把这个问题化为我们熟悉的问题，熟悉的问题我们有解决的方法，就是容易的问题，这是化难为易的一个方面;

3、化未知为已知

当所要解决的问题和我们已经掌握的问题有关系时，把所要解决的问题化为已知问题;；

4、化大为小

在解答综合性试题时，一个问题往往是由几个问题组成的，整个问题的结论，是通过这一系列的小问题得出的，这种情况下，就可以把所要解决的问题转化为几个小问题进行解决。

高考数学，转化与化归思想典型例题分析2：

设正项数列{an}的前n项和为Sn，q为非零常数．已知对任意正整数n, m，当n＞m时，Sn－Sm＝qm·Sn－m总成立．

(1) 求证：数列{an}是等比数列；

(2) 若正整数n, m, k成等差数列，求证：1/Sn+1/Sk≥2/Sm.

证明：(1) 因为对任意正整数n，m，

当n＞m时，Sn－Sm＝qm·Sn－m总成立．

所以当n≥2时，Sn－Sn－1＝qn－1S1，

即an＝a1·qn－1，且a1也适合，又an＞0，

故当n≥2时，an/an-1＝q(非零常数)，即{an}是等比数列．

根据转化与化归的定义和理解，我们可以得到10种常见转化与化归的解题方法：

1、换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题；

2、等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的目的；

3、直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；

4、特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题的结论适合原问题；

5、数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径；

6、构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.

7、类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于探求；

8、坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径；

9、参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的问题进行解决；

10、补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集CU A使原问题获得解决，体现了正难则反的原则。

高考数学，转化与化归思想典型例题分析3：如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.

(1) 设e＝1/2，求|BC|与|AD|的比值；

(2) 当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．

从本质上来说，像分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想都是转化与化归思想的具体体现。

大家一定要清楚认识到转化与化归思想的本质，就是把待解决或难解决的问题通过某种方式转化为一类已解决或比较容易解决的问题的一种思维方式。

应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化，在有些问题的转化时只要注意添加附加条件或对所得结论进行必要的验证就能确保转化的等价。

大家要明白一点：转化包括等价转化和非等价转化，等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。高中数学中的转化大多要求等价化归，等价转化要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果。

常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、图象语言、文字语言与符号语言的转化等。

高考数学，转化与化归思想典型例题分析4：

已知函数f(x)＝（a-1/2）x2＋lnx(a∈R)．

(1) 当a＝0时，求函数f(x)的单调递增区间；

(2) 若x∈[1,3]，使f(x)<(x＋1)lnx成立，求实数a的取值范围；

(3) 若函数f(x)的图象在区间(1，＋∞)内恒在直线y＝2ax下方，求实数a的取值范围．

解：(1) f(x)＝（a-1/2）x2＋lnx(a∈R)的定义域为(0，＋∞)．

当a＝0时，f(x)＝－x2/2＋lnx，f′(x)＝－x＋1/x＝（1-x2）/x.

由f′(x)＞0，结合定义域，解得0＜x＜1，

故得函数f(x)的单调递增区间为(0,1)．

解题反思：

如果在解题过程中没有注意化归的等价性，就会犯不合实际或偷换论题、偷换概念、以偏概全等错误。

因此，在运用转化与化归思想解决问题的时候，应遵循以下五个基本原则：

1、熟悉化原则

将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决;

2、简单化原则

将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据;

3、和谐化原则

化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律;

4、直观化原则

将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决;

5、正难则反原则

当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。