因数和倍数
首先我们要了解什么是整数。整数包括正整数，负整数与0。我们把1，2，3，4…，n，…叫做正整数。把-1，-2，-3，…，-n…叫做负整数。
那么什么是整数的整除性呢？我们知道整数加整数等于整数，整数减整数等于整数，整数乘整数等于整数，但是整数除整数不一定是整数。研究整数的整除性就是研究究竟什么样的整数除以什么样的整数才能得到整数。
设a和b是整数，b≠0。如果存在一个整数c，使得a=bc。则a叫做b的倍数，b叫做a的因数。如果b能整除，a我们就用b|a来表示。例如，4÷2=2则表示为2|4。
设此时有a，b两个整数，且a|b。因为a|b，所以由定义可知，有一个整数c使得b=ac。由此可得b=（-a）（-c），-b=（-a）c=a（-c），|b|=|ac|=|a||c|。由此可得当a，b是两个整数且a|b时，则（-a）|b，a|（-b），（-a）|（-b），|a| | |b|。
设a，b，c都是整数 ，a|b，b|c。因为a|b，所以由定义可知有一个整数d它使得b=ad，又由于b|c所以有一个整数e，它使得c=be，由c=be和b=ad有c=ade，由于e和d都是整数，所以de也是整数，由定义可知c=ade有a|c。所以当a，b，c都是整数，a|b，b|c时有a|c。
如果a，b都是整数而|a|<|b|且|b| | |a|，我们设a与b的绝对值分别为K与X。可得 K=XC，如果K=0，则a=0。如果K>0。则0<K<X， K=XC，且C≥0。如果C大于0，由上述条件推论可知C≥1。由K=XC，C≥1可知K≥X既|a|>|b|，与已知|a|<|b|不符，所以C=0。如上所述，则a=0。
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